自筆証書遺言、遺言者本人が書いた遺言がある場合

相続開始(亡くなった日)からすぐに 預金が等引き出すことができません。
遺言があるから、自動的に遺言で指定された方が、相続できるのではないのです。

相続開始後、自筆証書遺言が見つかった場合、検認と言って 家庭裁判所へ持って行く必要があります。(持って行かないで遺言書を開けると罰則があります)

そして、家庭裁判所でその遺言が正しいものなのかどうかチェックします
この手続きに1か月~2か月ほどかかります。
ですので、相続開始後すぐに 遺言者が指定した相続人が遺言通りに相続できないのです。預金なども勝手に使えません。

相続開始後 すぐに、遺言通りに進めてもらいたい場合は、公正証書遺言を作成するのが良い結果になる可能性が高いです。
公正証書遺言は、家庭裁判所へ遺言書を持って行く必要がありません。